当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 试用一致连续的定义证明:若f , g都在区间I 上一致连续, 则f+g也在I 上一致连续.

【答案】因为f , g在区间I 上一致连续, 所以对任给的使得当当有

故f+g在I 上一致连续.

2． 证明对任意自然数n ,

方程

. 【答案】令

因此, 由连续函数的零点定理知, 又从而

在

上存在惟一的零点, 即方程.

.

在

则

上有零点.

所以

在

上单调.

在区间

上总有惟一实根X n ，

并求

时, 有时,

有

.

取

；

,

则当

时,

, 存在

,

在区间[0, 1]上总有惟一实根对

两边取极限得

, 证明:

.

3． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

（1）（2）又若【答案】由

,

, 则又有

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

（*）

, 得

（1）在（*）式中令

在[a, b]上两边对x 求定积分, 得

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

故有

（2

）（*）式两边在[a

, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

由即

4． 利用单调有界原理证明确界原理.

【答案】设S 是非空有上界的数集, M 是

S 的一个上界.

若S 有最大值,

则最大值即为S 的上确界.

若S 无

最大值, 任取. 记左半区间为

.

数列

, 将. 然后将单调递增,

,

首先, 分大时有

有

二等分

, 若右半区间含有S 的点, 则记右半区间为二等分, 用同样的方法选记单调递减, 且

,

使得 , 否则

, 如此下去,

得一区间套

, 可得

. 故有

中含有S 的点, 在b n 的右侧不含S 的点. 由{an }单调递增有上界

, 所以存在

, 往证为S 的上确界.

. 若不然, 则存在

, 使得

, 使得

. 因为

所以存在正整数N , 使得, 由

知, 当n 充

, 于是在b n 的右侧含有S 中的点, 矛盾, 故是S 的上界. 其次

,

, 于是存在

, 即为S 的上确界.

二、解答题

5． 设

在平面上二次连续可微,

；

.

（1）用u 关于r , 的偏导数表沄

（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）（2）

专注考研专业课13

年，提供海量考研优质文档！

6． 求

.

【答案】由分部积分可得

令

则

, 所以

故得

7． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

（1）

所围平面区域上侧在曲线的左侧;

（2）（3）

为顶点的三角形沿ABCA 的方向.

【答案】（1）记L 为曲面S :

z=1—

x —

y

（

）的边界, 由斯托克斯公式知

且

同理

因此原积分=0.

（2）记L 为该椭圆的边界, 则

其中S 为所交椭圆面,

是S 在xy 面的投影.

其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线, 它的走向使

>其中L 为

. , x=y所交的椭圆的正向;

, 其中L 是以A （a , 0, 0）, B （0, a

, 0）,

C （

0,

0, a ）