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一、计算题

1． 设随机变量

【答案】因为

，求此分布的变异系数.

所以此分布的变异系数为

2． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为

【答案】

记

为第i 个元件的工作时间，

则

的指

数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布.

独立同分布，其共同的密度

函数和分布函数分别为

由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件中有一个失效，则此设备就停止工作”，故设备正常工作时间

，所以T 的密度函数为

这表明:设备正常工作时间T 服从参数为

的指数分布.

3． 某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备. 若检验员每天检验4次，试问每天平均要调整几次设备.

【答案】令X 为每次检验中不合格品的个数，

则

. 又记Y 为每天调整设备的次数，则

为

4． 设二维随机变量

.

的联合密度函数为

求【答案】

.

的非零区域与

的交集为图阴影部分，所以

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，

而调整设备的概率为，所以平均每天调整次数

图

5． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.

【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，

所以有

又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5, 所以

. 因为各次射击是独立的，所以

6． 设X 和Y 相互独立, X 服从参数为的泊松分布, 其分布律为

其中

律.

【答案】Z 的可能取值为

且X 与Y 相互独立, 则有

故Z 的概率分布如下

表

1

,

的分布律为

, 其中

, 求

的分布从中解得

k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，

则

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7． 设曲线函数形式为试给出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，

则变换后的函数形式为

8． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

1

由此得

二、证明题

9． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

10．设

证明【答案】

所以当

的特征函数为

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.

诸

是充分统计量. 的联合密度函数为

注意到

是已知常数，令

取

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若

其中

独立，是已知常数，