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一、计算题

1． 一个房间中有n 双不同型号的鞋子, 今从中任取

（1）没有2只能配成对（设为事件A ）; （2）恰有2只能配成对（设为亊件B ）; （3）恰有

只配成对（为事件C ）.

只, 则基本事件总数为

双

双, 再从每双中取一只即可,

只都不能配成对, 则可先从n 双鞋中取出种不同取法, 即

【答案】从n 双不同型号的鞋子中取（1）若使取出的共有

只

求下列事件的概率:

（2）若使取出的只恰有两只能配成一对, 则可先从n 双鞋中取出一双, 然后从剩下的鞋中各取一只, 即

（3）若使取出的

只都能配成对, 则可从n 双鞋取k 双, 即

2． 某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备. 若检验员每天检验4次，试问每天平均要调整几次设备.

【答案】令X 为每次检验中不合格品的个数，

则

. 又记Y 为每天调整设备的次数，则

. 为

3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布

试求X 的特征函数. 【答案】

设

的特征函数为其中

又因为

是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p

的几何分布

所以X 的特征函数为

，

而调整设备的概率为，所以平均每天调整次数

4． 试求以下二维均匀分布的边际分布:

【答案】

因为在

时，有

所以X 的边际密度函数为

又因为在

时，有

所以Y 的边际密度函数为

可见，这两个随机变量不相互独立.

5． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg , 标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下:

设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体

）？

，待检验的问题为

，查表知检验拒绝域为若取由样本数据算得，

此处值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常.

6． 设总体为均匀分

布值:11.7, 12.1, 12.0.求的后验分布.

【答案】当的联合分布为

>

其中

或

此处观测值为

它位于区间（10, 16）内，故后验密度函数为

即

时，

的先验分布是均匀分

布

. 现有三个观测

的非零区域内，

当

时，

有

所以

的非零区域内，

当

时，

有

所以当

即的后验分布为

.

与

, 其中

是未

7． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且

（2）设（3）证明

为设

.

;

为来自总体Z 的简单随机样本, 求的无偏估计量.

服从正态分布, 且

为样本

（1）求Z 的概率密度

的最大似然估计量;

【答案】（1）由于X 与Y 相互独立, 则故得X 的概率密度为（2）设

的观测值, 则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

, 解得

.

, 故

,

（3）由于

8． 试证:概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0, 则任对事件B 有从而得

是的无偏估计量.

，所以由概率的单调性知，

，所以A 与B 独立.

二、证明题

9． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明:Y 服从参数为

的泊松分布.