2018年湖北工业大学生物工程与食品学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知随机变量X 与Y 的相关系数为均为非零常数.
【答案】先计算然后计算
与
与
的方差与协方差
.
的相关系数
.
所以当a 与c 同号时
而当a 与c 异号时
2． 设总体为估计.
【答案】由题意知，观测值为正的频率
下面计算观测值为正的概率. 当总体为
其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为
譬如，若设
3． 设随机变量序列
试证:【答案】这时立.
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求与的相关系数，其中a , b , c , d
现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的
时，
则由上式知是标准正态分布的
分位数，
独立同分布，数学期望、方差均存在，且
仍为独立同分布，且
由辛钦大数定律知结论成
4． 设随机变量X 服从正态分布
【答案】由题设条件知
，若，试求
.
由此得所以
5． 一袋中装有20个大小相同的三种颜色的球, 其中第一种为红球有16个, 第二种为黄球有3个, 第三种为绿球有1个. 现在随机地从中任取一球, 记
（1）求随机变量（2）问随机变量【答案】设事件（1）由题设知,
与
的联合分布； 是否相关.
. 于是
故
的联合概率分别如下表所示
表
1
两两互不相容
. {取到第i 种球},
（2）由上表可知与的分布分别为
表
2
表
3
所以
从而
所以
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相关.
6． 设是来自的样本，问n 多大时才能使得因而
成立？
【答案】样本均值
所以
立.
7． 设总体为均匀分布
拒绝域取为0.05, n 至少应取多大？
【答案】均匀分布
这给出即n 至少为62时，上述概率不等式成
是样本，考虑检验问题
，
求检验犯第一类错误的最大值
若要使得该最大值不超过的最大次序统计量
的密度函数为
因而检验犯第一类错误的概率为
»
它是的严格单调递减函数，故其最大值在
，则要求
处达到，即
若要使得
，这给出
，即n 至少为17.
8． 对敌人的防御阵地进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其数学期望是2, 方差是1.69, 求100次轰炸中有180颗炸弹命中目标的概率.
【答案】设第k 次炸中目标的炸弹数为
,
由独立同分布中心极限定理知, 当n 充分大时,
故
I
近似服从正态分布, 又由题意知,
,
命中目标的炸弹总数为
二、证明题
9． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
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，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
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