2018年湖北工业大学轻工学部314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
【答案】记事件为“第i 次取出不合格品”，i=l，2, D 为“有一件是不合格品”，E 为“另一件也是不合格品”. 因为D 意味着:第一件是不合格品而第二件是合格品，或第一件是合格品而第二件是不合格品，或两件都是不合格品. 而ED 意味着:两件都是不合格品. 即
，因为
所以根据题意得
2． 设
取拒绝域为【答案】
是来自0-1总体b （1, p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率. ，则
，于是犯两类错误的概率分别为
3． 试证:概率为零的事件与任何事件都是独立的.
【答案】设P （A ）=0, 则任对事件B 有从而得
，所以由概率的单调性知
，
，所以A 与B 独立.
，
4． 在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强度（主要质量指标）的影响.
为了比较
与
的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位:N ）:
表
根据经验，温度对针织品断裂强度的波动没有影响. 问在均断裂强度间是否有显著差别（假定断裂强度服从正态分布，
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时的平均断裂强度与
）？
时的平
【答案】本题为关于两正态总体均值相等的检验问题，温度对针织品断裂强度的波动没有影响说明二者的方差是相等的.
设X 为
时针织品的断裂强度，Y 为
时针织品的断裂强度，
，
由样本数据可算得
»
于是
在显著性水平差别.
5． 设
【答案】
若令
可得
再令
，可得
当k 为偶数时，当k 为奇数时，.
时，，
，因此拒绝域为
时检验的平均断裂强度与
由于t 值落
待检验的一对假设为
入拒绝域内，从而拒绝原假设，认为时的平均断裂强度间有显著
，求
6． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得
7． 有20个灯泡，设每个灯泡的寿命服从指数分布，其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡，当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的，求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】记
为第个灯泡的寿命（单位:天），
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则
且由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
8． 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
【答案】设事件
”，为“恰好结成n 个圈记
，又记事件B 为“第1根绳子的两个
容易看出
所以得递推公式
由此得
头相接成圈”，则由全概率公式得
二、证明题
9． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
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，这就完成了证明.
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