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一、证明题

1． 证明抛物线

【答案】

显然当由 2． 设

【答案】(1) 当A=0时，由

此即(2) 当

时，由于

令而

3． 若在

上连续可微，则存在

上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得

上连续可微，所以

在上连续. 令

因此

，

与

取

在并且

上连续，从而是可积的

且是増函数，

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在顶点处的曲率为最大。

时

，得

即抛物线

是单调递减的. 故当时，取最大值。

在顶点处的曲率为最大。 语言证明：，

当

时，有

，用

则

存在

当时，有

【答案】因为

在

所

以

是减函数。

4． 设

也是【答案】

为上的凹函数.

上的凹函数，求证：

由此推出

由凹函数定义，即知

是

上的凹函数.

二、解答题

5． 设

【答案】二元函数

上可微，且

6． 设

(1) 试求(2) 证明【答案】⑴

易证

故有

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在矩形区域

上连续，

均为可微函数. 则函数

在

其中

与

的导数，并以

与

满足方程

(这两个积分称为完全椭圆积分) . 表示它们；

即

(2) 对(1) 中(a) 式求k 的导数后，再将(a) 式代入得

(3) 由(a) , (b ) 有

代入上式后得

7． 求下列方程组所确定的隐函数组的导数

.

【答案】(1) 设方程组确定的隐函数组为

对方程组两边x 求导，得

解此方程组得

(2) 方程组关于求偏导，得

解得：

方程组关于y 求偏导数，得

解得

(3) 把

看成

的函数，对求偏导数

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