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一、证明题

1． 设

在

上三阶可导，证明存在

使得

【答案】则有使得

即

2． 证明：若函数f (x ) 在(a ，b ) 内有连续导数

且

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

上连续，从而一致连续，则

当满足

即

对时有

于是有

3． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明：级数收敛，则

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连续使用柯西中值定理，

在(a ，b ) 内闭一致收敛于函数

的极限函数为对

当

时有

于是当

时，由拉格

存在正整数

当n>N时，

即

上一致收敛于

也收敛，其中

令

则

级数

的部分和为

从而级数

4． 将函数

【答案】由

逐项积分上式得

因为

及根据定理

可知级数

再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛.

在[0，1]上连续。

在

收敛。

点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.

二、解答题

5． 试确定的值，使下列函数与当

【答案】（1）因为

所以，当（2）因为当所以，当

（3）

于是，当

时，

与当

时为同阶无穷大量.

时时，

时，

与

当

时为同阶无穷大量.

与当

时为同阶无穷大量：

时为同阶无穷大量.

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6． 判别下列积分的收敛性：

【答案】

时发散。

所以当

7． 求螺旋线

【答案】则

8． 设函数

【答案】

9． 计算下列曲线积分：

(1) (2) (3) (4) (5) (6) 看去，

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当

时收敛，

时发散，即当

时收敛

，

时收敛，时发散.

对轴的转动惯量，设曲线密度为

求

：

，其中L 是由和所围的闭曲线；

其中L 为双纽线其中L 为圆锥螺线

L 是以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； ，L 是抛物线

L 是维维安尼曲线

到

的一段；

若从x 轴正向