2017年长沙理工大学数学与计算科学学院703数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：设方程
所确定的隐函数
具有二阶导数，则当
【答案】由题设条件可得
故
所以
2． 证明下列各题：
(1) (2) (3) (i ) 在(4) (5)
(1) 因为【答案】一致收敛.
(2) 因为(3) (ii ) 取
对任何
令
收敛，所以__所以
所以
(4) 而且
收敛，所以在
上不一致收敛.
上一致收敛.
第 2 页，共 27 页
时，有
上一致收敛； 上一致收敛；
上一致收敛；
在
上不一致收敛；
上一致收敛； 上一致收敛。
收敛，所以
上
在上一致收敛. 上一致收敛.
(5)
3． 证明若
【答案】因为
于是，对于得到的这个
当
故定的
因此
这是因为 4． 求
【答案】因为
存在
设则
收敛，所以上一致收敛.
当且仅当A 为何值时反之也成立？
所以对任给的存在时，也有
使得当时，
当且仅当A=0时，逆命题成立. 证明如下：如果使得当
对于函数
时，有
有
即
但
则对任意给不存在，
所以
二、解答题
5． 长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？
【答案】取铁索的一小段为微元，则有
6． 求下列线积分：
(1) (2
)
【答案】(1) 令
在全平面成立，所以线积分在
故
全平面上与路径无关，这时必有原函数存在。为求被积表达式的原函数，先求积分
第 3 页，共 27 页
所以原函数
因而
(2) 记被积表达式为则的外微分为
所以线积分在全空间上与路径无关。为求的原函数，先求三个不定积分：
所以原函数为
因而
7． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：
（1）（2）（3）【答案】（1）
（2）
（3）
第 4 页，共 27 页
绕x 轴；
绕x 轴；
绕y 轴
绕x 轴。