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一、证明题

1． 证明：若数列

(1) 级数. (2) 当时，级数

【答案】(1) 级数的前n 项和

则

(2) 级数的前n 项和

2． 证明对任意常数

【答案】设

球面.

与锥面

是正交的

故级数发散.

有>发散；

，则

是球面与锥面交线上的任一点，则球面在该点的法向量为

维面在该点的法向量为

因为故对任意常数球面与锥面正交.

3． 设函数在

证明在【答案】因为

存在相应的分割T , 使得

因此

而

4．

设点.

【答案】对任意

当x 充分大时，

有

乂

所以由连续函数的零点存在定理知，存在

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上有定义，且对于任给的上可积。

存在

上的可积函数g ，使得

在

上可积，

所以对任给的

又因为函数这里

表示函数

在相应小区间上的振幅. 所以

故

在

上有连续导数，

且

即在上可积。

在

内仅有一个零

试证

：

由

知

在

上严格单调递增，所以f (x ) 在

内有且仅有一个零点.

二、解答题

5． 求下列函数的偏导数：

【答案】

6． 计算下列广义积分

（1）（2）（3）【答案】⑴

（2）令

则

于是有

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（3）先求

由分部积分公式，可得

所以

7． 求最小实数C ，使得满足

【答案】一方面

另一方面，如果取

则有

而

由此可知，最小实数

8． 计算积分

其中

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的连续函数都有