2017年长沙理工大学数学与计算科学学院703数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
所以
2． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且
【答案】(反证法) 假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾，所以原命题成立. 3． 设
【答案】根据题意可知
又
所以从而
单调递増有上界
由单调有界定理知极限存在.
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证明：
证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.
那么
证明：极限存在并求之.
设对两边取极限得
在有界闭区域D 上可积，则
解得即
4． 证明：若函数某个小区域
当
上无界.
在D 上有界.
，必在
【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割
时，任取
令
由于f 在从而
另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和
都满足
这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.
*对任一 D 的分割
上无界，从而存在
使得
时，T 的
二、解答题
5． 确定下列函数的凸性区间与拐点：
【答案】故y 的凹区间为
凸区间为当
的凸区间为
由
得
或
故y 的凹区间为
时由于得
由
得的拐点为
，
当
（即y 的凸区间为
由
。由
凹区间为
得和
解得凸区间为
或
由
由
.
时，
间为
和
当
拐点为
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当
时，当时，
时故y 的凹区间
为
）无实根，故y 无拐点。
由
和
得得
得
故拐点
为
解得
得
和故y 的
当凸区由
于是拐点为
时，故y
的凹区间为
6． 设是不含原点的有界区域，其体积为V ，边界为光滑的闭曲面
是
上的连续可微函数，它满足微分方程
【答案】因为位向量为
则
的单位向量为
其中
是的外法线单位向量
，
求
E 的外法线单
所以
7． 求下列极限(其中
(1
) (2
)
【答案】(1) 考察级数因P>1，故级数
收敛，据柯西收敛准则，任意
存在N ，当n>N时，有
从而，原式=0. (2) 考察级数因P>1时级
数
收敛，故由柯西收敛准则，任
意从而，原式=0.
8． 将函数
【答案】(1) 将这时
且
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) ：
存在N ，当n>N时
，
按如下要求展开为傅氏级数：
进行偶开拓，也就是考虑
的傅氏展开.
(1) 按余弦展开；(2) 按正弦展开.
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