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一、证明题

1． 证明对黎曼函数

有

(

当

或1时，考虑单侧极限)

【答案】[0, 1]上的黎曼函数的定义为

对于任意的

满足不等式

的正整数q 只有有限个. 设

使得

则

当

(

若

故

2． 证明：函数

【答案】下面用归纳法证明

命题成立. 设.

其中

在x=0处n 阶可导且

为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，

其中

满足要求，则

因为故

3． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

的次数不超过3n ，所以

的次数对任意

成立. 由于对任意的

上可积，且

使得因

在

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

分别为

在

上的上、

所以

的次数不超过

于是

其中n 为任意正整数.

为既约真分数，则

取

若

，使得则

当

因而P 也只有有限个. 于是在(0, 1)

内只有有限多个既约真分数

内不含这有限个既约真分数.

则当) 时，有

若则由上式知从而对任何实数

均有

若则

得

令

则

且

4． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

可以证明对于任意的无理点，函数值都为零，对于区间上的任意无理点使得

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由已知函数在任何有理点为零，故此函数恒为零.

存

二、解答题

5． 试求

在

上的傅里叶级数，并求级的延拓，则

故由收敛定理，对

当

时，其傅里叶级数收敛于

令

即有

6． 设有力

向

试求单位质量

M ，沿椭

圆

的和.

【答案】将f (x ) 作周期为

移动一周(从z 轴正向看去为逆时针方向时) ，力F 所作的

功.

【答案】此即为求曲线积分

由Stokes 公式，

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面，方向为上侧，由于

所以

令所以

7． 试作适当变换，计算下列积分：

【答案】⑴

，则

于是

(2) 令于是

8． 设

（1）

（2）

（3）

使得使得使得

则

（2）令

（3）令

则

则

于是

于是

试作数列：

于是

则

则

且

¥面，故

【答案】⑴令