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一、证明题

1． 设

由

于

从而可知

2． 证明：

设

则

【答案】因为任意

故所以

3． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

故

4． 若在

上连续可微，则存在

上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得

上连续可微，所以

在上连续. 令

因此

，

与

取

在并且

上连续，从而是可积的

且是増函数，

是减函数。

所

以

不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

时，

在

内

，

及

又

证明

使得当

时.

在D 上一致收敛于f.

有

故

即

若对每一个正整数n

有

在

上可微，且

则

，因

此

为

证明：在

上的单调递减函数，所

以

【答案】令

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在

【答案】因为

在

二、解答题

5． 讨论下列函数列在所给区间上的一致收敛性：

(1) (3)

【答案】(1) 方法一 易知当

(2)

(4) 时，

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由于

所以当n>e时有

即

在(0, 1) 内单调递减且

于是

故方法二

在(0，1) 内一致收敛.

的极限函数当

切0

于是

故(2) 易知当而

所以(3) 令

由于

所以

从而

故(4) 易知当

在

上一致收敛. 时，

当

时，对任意正整数N 都有

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因为

时恒有

取

则当n>N时有

则

因此对一

在(0，1) 内一致收敛.

时，

在[0, 1]上不一致收敛.

当时，

因为综上所述，

所以存在正整数

存在正整数

当n>N时有当n>N时，

即

都有

故

在内一致收敛.

其中V 是由

与

6． 应用高斯公式计算三重积分所确定的空间区域。

【答案】

7． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：(1)

星形线

【答案】(1) 由于星形线的对称性，

(2) 设双纽线所围的面积为S , 双纽线的极坐标方程为

且图形关于y 轴对称的，因此

8． 讨论级数

的敛散性.

(2)

双纽线

【答案】用柯西收敛准则.

取

让自然数适当大，取

显

然

考

察

注意到，

当

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时，有