2017年新疆师范大学数学科学学院717数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：(1) 设在
(2) 设在【答案】(1) 设因为(2) 把函数其中
线段方程组的系数矩阵为A ，则
上可导，若上n 阶可导，若
和
都存在，则都存在，则
由拉格朗日中值定理得
都存在且相等，所以有
在点x 处展开为把
故
阶泰勒公式得
看作未知数，解上述线性方程组. 设这个
由范德蒙行列式的求值公式知
，
的线性组合. 由存在(其
中
根据(1) 的结论，
由
2． 利用导数定义证明
：
【答案】
3． 设
是定义在
上的连续的偶函数，则上的连续的偶函数知
从而令
有
于是
，
存在可得
于
是
存
在
的存在性可
知
可以表示
为
【答案】由f (x ) 是定义在
从而
所以原命题成立.
4． 应用詹森不等式证明：
⑴设
有
(2) 设
【答案】(1)
设
有则
其中由
可知
为区间
上严格凸函数. 根据詹森不等式有
即
因而
把这个不等式中的n 个正数换成
于是原不等式得证。 (2) 设代入
得
于是
令
由(1) 知
为凸函数，令
则得到
得
不等式两端同时乘以
再对
时的不等式两端分别相加，得
二、解答题
5． 设定义在
上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义
上的函数：
试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）
（2
）
【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当
内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.
对一切
总有M （x ）=1.即
（2）同理可得
（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示
.
时，m （x ）
图1 图2
6． 设
所有二阶偏导数都连续
，
求
【答案】由题意知