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一、证明题

1． 证明

【答案】分部积分，有

2． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在

【答案】令

续，在(a , b ) 内可导，

且有得

.

3． 设

即

证明

：

所以

(

当

或

4． 证明曲线积分的估计式：

其中L 为AB 弧长，

用上述不等式估计积分

并证明，

.

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使得

由f (x ) 在

或

对) ，即

即

上可导可知，F (x ) 在

上连使

故由罗尔中值定理知，

存在

【答案】因为

于是，

【答案】(1) 因

且

从而

(2) 因

由(1) 知

由于

故

二、解答题

5． 求下列函数微分：

【答案】

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6． 计算外侧。

其中为圆锥曲面被平面z=0，z=2所截部分的

【答案】由高斯公式，然后再由球坐标变换得

7． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性：

(1)

(2) 【答案】(1) 因为

所以

②当

时

，

当x=l时，

在[0, 1]上连续，而极限函数f (x ) 在[0, 1]上不连续，所以{f(x ) }在[0, 1]上不一致收敛.

③因为

所以(2) 而

所以

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故

在(0, 1) 上不一致收敛.