2017年新疆财经大学应用数学学院704数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】
设是非空有上界的数集
，确界.
若无最大值，
任取
否则记左半区间为
得一区间套
侧不含的点.
由S 的上确界.
首先
，
于是在
有
若不然，
则存在
使得
因为的上界. 其次，
所以存在正整数
由
使得
的右侧含有中的点，矛盾，
故
是
知，当n
数列
将，然后将单调递增，
是的一个上界.
若
有最大值，
则最大值即为的上
如此下去，
的右
，往证为
二等分，
若右半区间含有的点，
则记右半区间为
二等分，用同样的方法选记单调递减，且
使得
，
中含有的点，在
单调递增有上界，
所以存在
充分大时有于是存在使得
2． 证明：若函数，在光滑曲线L
:
. 其中
为的弧长.
.
即为的上确界.
上连续，则存在点
...
使得
【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为存在，且
又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：
使
令
3． 设
在对
显然内无上界，求证
：在
对
内无上界，
对
因为2不是上界，所以使得
使得
对
所以
在上连续，由积分中
使得
因为1不是上界，
所以
使得.
，
使得
依此下去，
【答案】
由于
因为3不是上界，
所以
因为n 不是上界，所以
产生一序列由及广义极限不等式知
4． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
⑴
(2)
【答案】(1)
设
使得
(2) 同理可证.
即
. 则对一切
有
所以
即
对任意
存在
二、解答题
5． 设
其中
表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明
只有有限个点
使
在X 为有理数划
因此
在D 上的二重积分存在而两个累次
因而存在一个分割T , 使
得
积分不存在.
【答案】因为对任何正
数当y 取无理数时，
然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数
在任何区间上的振幅总大亍
同理可证先y 后x 的累次积分不存在.
6． 设m , n 为正数，求积分
【答案】设
由分部积分法得
从而
以二重积分存在且等于零.
即函数上关于X 的积分不存在. 显
然就不存在先x 后y 的累次积分.
的值.
（利用余元公式、换元、B 函数更为简单）.
7． 试问集合
与集合
是否相同？
【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线
段
第二个集合挖去了一个点(a , b) .
8． 设
定义函数
【答案】函数
在D 上可积，且
证明：因为
在D 上的不连续点都分布在线段
则
于是
9． 证明下列级数的收敛性，并求其和：
(1) (2) (3) (4) (5)
上，
由可积的充分条件知
它们的面积分别为其积分和为
在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域
在上任取一点
【答案】(1)
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