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一、证明题

1． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

2． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

从而有

由即[2]若对任意的

的任意性知

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

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是直线上的连续函数, 试证:

,

可得

所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

成立. ）, 使

有

,

故当

有

同理可证由上面（1）得

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

对取定的M ,

因为

是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

, 使得

当

所以存在

因为

并且在任意有限区

时,

有使当

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

当又因为

且

所以

从而有

由 3． 设计.

【答案】由于

这就证明了

4． 设时,

，是的相合估计.

试证明:当n 充分大

独立同分布，

，证明：

是的相合估

的任意性即知

, 结论得证.

时, 有

又因为

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

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5． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

6． 证明：对正态分布

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

似然估计不存在.

7． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

8． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

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,

其中