2017年北京市培养单位心理研究所803概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列证:
【答案】这时
2． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
仍为独立同分布, 且
由辛钦大数定律知结论成立.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
3． 设从均值为
方差为
的相互独立性可导致
的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了
是的无偏估计.
又由a+b=l知，从而
由求导知，当时，达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
中方差最小的.
）的均值
4． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 5． 设UMVUE. 满足 分别是 有相同的边际密度函数. 的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是 的UMVUE , 故 且对任意一个于是 因此 6． 设 是为来自 的UMVUE. 的i.i.d 样本，其中 ）. 样本的联合密度函数为 两个参数空间分别为 是 的 【答案】由于 由判断准则知 未知. 证明关于假设 的单侧t 检验是似然比检验（显著水平 【答案】记 利用微分法，在 下 于是似然比统计量为 分别为的MLE. 而在 下的MLE 为 在 时 由于 故只需考虑 的情形，此时A 为 的单 调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域 由t 检验的结论知， 7． 设 服从多项分布 这就完成了证明. 其概率函数为： 其中即 其中 ，i=l, ……k , . 记 并把这一分布记作 . 证明：的后验 为参数， 若 的先验分布为Dirichlet 分布， 分布为Dirichlet 分布 【答案】因为的后验概率函数为 所以的后验分布服从Dirichlet 分布 8． 设正态总体的方差 ，其中 两值之一，为总体的容量n 的 则检验犯第二类错误的概率 为 从而在并且要求 为已知值，均值只能取或 样本均值. 考虑如下柃验问题 若检验拒绝域取 为 （1）试验证：（3）当 给定时，有 （2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？ 时，样本容量n 至少应为多少？