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一、证明题

1． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

（3）和的联合分布函数为:

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

2． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

3． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

4． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

,

样本方差分别为

证明:

即A ，B 相容.

5． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

（2）当所以

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3

）设得:

即

的特征函数为

不能推得X 与Y 独立.

, 由相互独立性

都服从参数为的柯西分布,

则特征函数为

时有

,

,

服从参

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

这正是参数为数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布.

6． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有

个样本点，这是分母，以下分别求之.