2017年北京市培养单位生命科学学院803概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
2． 设
是充分统计量. 是来自
的样本,
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
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）是充分统计量.
也可构造出（
,
, ）
1与
,
是一一对应的,
）就可算得（
）,
, 反之, 给出）
,
相互独立.
则
的联合密度函数为
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
3． 设证:
【答案】注意到
故
证明完成.
4． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了
5． 设
证明:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 为一个样本,
是样本方差, 试
相互独立,
且
其雅可比行列式绝对值为
, 联合密度
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
为独立的随机变量序列, 且
服从大数定律.
所以由
服从大数定律.
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【答案】因为由马尔可夫大数定律知
的独立性可得
6． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
证明：
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
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