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一、证明题

1． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

2． 设

是来自泊松分布

服从大数定律. 的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1

）泊松分布

的充分统计量是，

它是的无偏估计.

若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

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是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，

该检验的拒绝域为

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

所以势函数大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时

对给定的显著性水平有

即拒绝域W 中的临界

值

即当n=10时，若

3． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有

个样本点，这是分母，以下分别求之.

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是的严格増函数. 由此可知，在原假设

上

在处达到最

的渐近分布

譬如

，，n=10

和时，

有

则应拒绝原假设

（1）

2枚组成“一对”，共有以

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

4． 设

为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

有

由

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

5． 试证：对任意的常数

【答案】

于所以由此得

6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

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种分法，

【答案】因为

即A ，B 相容.