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一、证明题

1． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

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是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区

，因

而

分位数

可得

则有，

其中

于是，的近似[2]平均月销售量

置信区间可进一步简化为

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

2． 证明：对正态分布

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在.

3． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

4． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

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时趋于这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，

从而的最大

证明

则

也服从

从而

对一切的

存在，

这就证明了

5． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

【答案】对任意的即

结论得证.

6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

7． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计

令

们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

这说明

于是

因而

8． 设0

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

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存在，所以级数绝对收敛，从而有

是其样本，

，证明：

是θ的充分统计量，则对

这说明，在均方误差准则下，人

独立，由此得

即