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一、证明题

1． 设

即

与

的最大零点为的符号一致. 又因为

, 证明:

, 所以

2． 证明:若函数, 在光滑曲线L :

其中

为L 的弧长.

存在, 且

又因f 在L 上连续, L 为光滑曲线, 所以定理知:

-使

令

3． 设

是凸域,

, 显然

, 所以, 且满足

t

证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:

根据条件

故有

.

上式消去t 并令t →0, 即得

这表明矩阵

是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的.

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2

上恒正或恒负.

, 因此

【答案】因为x 0是f （x ）的最大零点, 所以f （x ）在

上连续, 则存在点

,

使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续, 从而曲线积分

与

在上连续, 由积分中值

是半正定的.

.

1为任一向量, 当t 充分小时, 点

二、解答题

4． 设

是有界闭集, f :

, 如果

, 都满足. 因为

, 使

这与

的最小性相矛盾, 故

即

. 若有另外一个

使

则

,

则A 中有且仅有一点x , 使得f （x ）=x. 【答案】

令

由此不等式知g （x ）为有界闭集A 上的连续函数,

因此存在

, 则由条件有

如果

矛盾, 故不动点惟一. 5． 设

【答案】

∴又

6． 试问

试验证

并求

是初等函数吗?

可由

复合而成, 所以

是初等函数.

【答案】因为

7． 计算下列第二型曲面积分:

（1）（2）

其中

是闭曲面（3）（4）其中为锥面有连续导数;

其中为锥面的外侧;

, 取外侧;

, 其中是抛物面

,

和球面

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, 方向取上侧;

所围立体表面的外侧, f （u ）具

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（5）

其中是三维空间中xy 平面上的曲线段侧;

（6）

,

绕y 轴旋转而成的曲面, 方向取右

, 其中是平行六面体

的表面并

取外侧, f （

x ）, g （y ）,

h （

z

）为上的连续函数;

（7）

【答案】（1）补充平面公式得

而

所以

（2）闭曲面是由八个平面侧, 由高斯公式得

令

区域在此变换下变为区域由对称性知, 原式=（3

）用

表示以原点为中心、

,

则

为半径的上半球面, 取上侧, 取充分小, 使在的内部. 记

的部分, 取下侧,

表示曲面

围成

组成, 其围成的立体为, 取外

, 其中为椭球

的表面, 取外侧.

, 取其上侧, 设

与

围成的区域为

则由高斯

为平面z=0上满足的区域, 则由高斯公式得

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