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一、证明题

1．

设连续函数列明

:

均有值,

取

因此有又函数g （x ）

在上一致连续, 所以

又注意到

致收敛于g （f （x ））.

2． 证明:场

【答案】对空间任一点（x , y , z ）都有

故A 是有势场. 由

故其势函数为:

3． 用确界原理证明有限覆盖定理.

【答案】对闭区间[a, b]的任一开覆盖H , 构造数集S 如上, 显然S 有上界. 因为H 覆盖闭区间[a, b], 所以存在一个开区间

使得

, 取

, 则[a, x]能被H 中有限个开

上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]

当

时, 有

当n>N时,

,

这说明

, 有

在[a, b]上一

【答案】因为

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x

）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即

I

又因为

时,

上连续, 证

在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.

和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述

因此可得

是有势场并求其势函数.

区间覆盖, 从而

若

, 则,

, 即S 非空. 由确界原理知, 存在

, 由H 覆盖[a, b]知, 存在,

且

,

则.

矛盾.

故

使得

, 取

, 使得

加进去可知

能被H 中有限个开区间覆盖,

把

, 这与

4． 证明:黎曼函数

在[0, 1]上可积.

用类似的方法可以证明, 即[a, b]可被H 中的有限个开区间覆盖.

【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为

, 在[0, 1]上使得

的点至多有有限个, 不妨设是k

作[0, 1]的分割T :, 使其满足

由于

而在上式右边第一个和式中,

有

, 所以有

由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积.

且

; 在第二个和式中,

有

且

二、解答题

5． 讨论级数

的敛散性.

【答案】用柯西收敛准则. 取显

然

,

, 让自然数k 适当大, 取

, 考

察

,

因此

. 注意到,

当时,

有

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这里用到了

6． 求下列不定积分:

（1

）（3）

【答案】

（1）令

（2）

（4

）

, 则

（2）令于是

（3）令令

, 则

，则

, 所以原式

所以

原式

,

则

, 取

,

（当k 适当大时）. 由柯西收敛准则可知

, 原级数发散

.