2018年北京航空航天大学609数学专业基础课之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 通过对积分区间作等分分割,
并取适当的点集算下列定积分:
（1）其分割为
,
取
为区间
的右端点,
得
（2）同（1）, 有
（3）由
.
则
在
上连续知, f （x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n 等分,
记其分割为
, 取为区间
的右端点,
得
（4）同（3）, 取
, 得
第 2 页，共 32 页
, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计
（2
）（3）（4）
【答案】（1）因在[0, 1]上连续, 所以f （x ）在[0, 1]上可积. 对[0, 1]进行n 等分, 记
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
2． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:
（1）心形线（2）双纽线【答案】 （1）
（2
）
3
．
设
是有界闭集,
f :
, 如果
, 都满足. 因为
, 使
这与
的最小性相矛盾, 故
即
. 若有另外一个
使
则 ,
则A 中有且仅有一点x ,
使得f （x
）=x. 【答案】令
由此不等式知g （x ）为有界闭集A 上的连续函数, 因此存在
, 则由条件有
如果
矛盾, 故不动点惟一.
4．
在xy 平面上求一点,
使它到三直线x=0,
y=0及
, 它到x=0的距离为【答案】设所求的点为（x , y ）的距离为
它到三直线的距离平方和为
由
得因为
,
第
3 页
，共 32 页
的距离平方和最小
. , 到y=0的距离为
到
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
因此
为z 的极小值点, 由实际意义知, 其为z 的最小值点, 最小值为
具有如下性质:
.
5． 求证:黎曼函数
（1）在x>1上连续; （2）在x>1上连续可微. 【答案】（1）
, 使得
又, 从而
在上一致收敛. 进一步由连续性定理, 可知函数
在x>1上连续.
在上
连续, 特别在x 0点连续. 由于x 0的任意性, 即可肯定
（2）由（1）可知
, 使得
.
又
收敛, 从而
在
上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知
且
在
士连续, 特别
在x 0点可导且
在x 0连续. 由x 0的任意性, 即可肯定
在
x>1上连续可微.
6． 设V （t
）是曲线
.
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
又因为
所以
, 那么由方程
. 和
得
于是
第 4 页，共 32 页
在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积, 试求常数c ,
使
7． 设y=F（x ）和一组函数（u ）.
试用
【答案】由
表示
可以确定函数v=v