2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
2． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，
，且的UMVUE ,
，则
是
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
这表明
由此可得到
，因而
t
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，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
，下一步，将式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这就证明了是
3． 设
【答案】一方面
的UMVUE ,
，证明:
另一方面
4． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
5． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
6． 证明:若
由此写出
与
则当
其中
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且X 与Y 独
的特征函数，由唯一性定理知间的相关系数分别为
证明:
时有
【答案】由F 变量的构造知且v 与W 相互
独立，
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
不存在.
从而可得当
时，只要
就有
在其他场合，
当
时，只要
就有
7． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
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服从大数定律.