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2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研核心题库（一） ... 2 2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研核心题库（二） . 10 2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研核心题库（三） . 19 2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研核心题库（四） . 27 2018年清华大学工业工程系902运筹学与统计学之概率论与数理统计考研核心题库（五） . 36

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一、证明题

1． 设在常数c

为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有

则

证明:

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

2． 设随机变量

【答案】

3． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

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. 又设

有

为一列常数，如果存

【答案】不妨设

服从大数定律.

，试证明:

4． 设事件A ，B ，C 的概率都是

【答案】因为

上式移项即得结论.

5． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，

，则

与的联合分布为

，且

，证明:

即成功概率p 的后验分布为塔分布族. 6． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

相互独立知,

也相互独立,

所以

时,

分别为样本的均值

，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

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由于X 的概率密度为

所以

由此证得（2）由

由于

, 所以

知从而将①, ②代入

可得

① ②

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

从而得到目的最大似然估计量为

7． 令【答案】

8． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

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表示服从二项分布的随机变量，试证明:

【答案】（反证法）假设

处不存在导数.

没有无偏估计.