2018年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
存在，试证明:
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
2． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
3． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
.
4． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
时，
5． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
），因此，
是充分统计量.
且X 与Y 独立，
，证明:
【答案】因为
上式移项即得结论.
8． 设
是来自
的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
的特征函数，由唯一性定理知
，且
6． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
7． 设事件A ，B ，C 的概率都是
与
是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
是充分统计量.
就可算得
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且