当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

所以

另一方面，

这就证明了

2． 设

证明:

为独立的随机变量序列，且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

样本方差分别为

3． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

的独立性可得

【答案】因为

的费希尔信息量存在，若二阶导数

对一切的

存在，

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

4． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

5． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

6． 设X 为非负随机变量，a>0.

若

【答案】因为当a>0时

，

存在，证明:对任意的x>0,

有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

.

服从大数定律.

所以

【答案】因为

7． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:

相互独立.

【答案】设则

所以. 由此得和的联合密度为

所以 8．

设明:

由又因为故有

可分离变量，即U 与V 相互独立. 为独立同分布的随机变量序列，方差存在.

又设服从大数定律.

否则令

因为

并讨论

为绝对收敛级数.

令即可.

证

【答案】不妨设

知

为绝对收敛级数，可记

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

二、计算题

9． 设

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明:若c 己知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若己知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】 （1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即其中

和

都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

，