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一、证明题

1．

设级数

满足：

加括号后级数符号相同，证明

【答案】因为所以

设

故

又当

存在，即

2． 证明：若级数

【答案】假设发散.

3． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

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收敛

，亦收敛.

，

且在同一括号中的

收敛，所以其中则

存在. 对任意的

又因为括号内符号相同，

n ，存在k ，使

稩

时必有从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

m ，收敛. 因

_

.

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

. 故级数

也发散

则由可知，

是上

4． 设f (x ) 在[a, b]上递增

，

证明：存在

使得

记

又

故

【答案】用确界原理证明. 若f (a ) =a或f (b ) =b, 结论成立. 下面假设因为下证有

故E 非空且有上界b , 从而必有上确界，可记

对任意的

即

有

b]上递增，而f (x ) 在[a，故

为E 的一个上界，从而有

另一方面，由于f (x ) 在[a，b]上递增，于是有

由此得出

即而综上即有

5． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

故

6． 证明抛物线

【答案】

显然当由

时

，得

即抛物线

是单调递减的. 故当

时，取最大值。

在顶点处的曲率为最大。

不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

时，

在

内

，

证明

故又有

成立.

使得当

时.

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在

在顶点处的曲率为最大。

二、解答题

7． 设

【答案】令由

两边求导有

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求则

8． 试作适当变换，计算下列积分：

【答案】⑴

，则

于是

(2) 令于是

9． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

【答案】设三角形的三边分别为因此

其中因S

与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

10．设函数

从而

又在D 的边界上的等边三角形，面积

从而S 在

处取得最大值，因而

则面积，

且

则

面积最大的三角形为边长为

在

上连续，且

求证：在内至少存在两个不同的点|使

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