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一、证明题

1． 设

【答案】根据题意可知

又

所以从而设

单调递増有上界对

由单调有界定理知极限存在.

两边取极限得上可导，且

则

于是，F (x ) 在

上严格递增，故当

时

即

至少有对f (x ) 在

3． 证明：设f 为n 阶可导函数，若方程. 一个实根.

【答案】设方程. 区间

上应用罗尔中值定理知，

存在

即

至少有n 个相异实根. 再对

使得

至少有n-2个相异实根

在n-1个区间

即.

至少有一个实根.

理知，存在续下去可得

4． 证明

：

【答案】

使得

.

上应用罗尔中值定

至少有n-1个相异实根. 如此继

的n+1个相异的实根为

并且解得

即则在

内有

证明：极限

存在并求之.

2． 证明：若函数f , g 在区间

【答案】令

有n+1个相异的实根，则方程

由于所以上式综上可得 5． 设

则在

满足

上恒等于0。

存在二阶导数，故

在

故

得

大值矛盾，故

同理可证

6． 按一致连续的定义论证：

(1) (2)

在在

上一致连续； 上一致连续. 取时，有

时，不妨设

在

上一致连续。

(不妨设

(应用了式(1))

所以

在

上一致连续.

) ，有

(2) 运用不等式：

则有

时，分两种情形讨论

.

所以

所以在

在于

是于是

上

为

上连续. 由最小最大值定理知，

由费马定理

知的一个严格极小值.

这与

在现证再

由

为最

上存在最大值和最小值. 设

假

设

因

上的最大值为M , 最小值为m ，

并且

， 其中

为任一函数. 证明：若

【答案】反证法. 因

【答案】(1)

二、解答题

7． 按柯西收敛准则叙述数列

⑴

【答案】

数列

使得

（1）取

对任意的正整数N ，取

发散的充要条件，并用它证明下列数列

（3）

是发散的：

（2）

发散的充要条件是：

存在对任意的正整数N ，

都存在正整数

则有并且

故数列（2）取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

故数列（3）取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

故数列

8．

设

在在点

发散.

上二次连续可微

，

的切线在轴上的截距，试求极限

【答案】利用切线方程求出

将

在

作泰勒展开：

（这里利用了当

时

，

这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是

对

9． 求锥面

使用洛必达法则，可得

被柱面

所截部分的曲面面积.

且

设曲面面积为S ，则

故原极限

且

又设

表示曲线

【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为