2017年西北民族大学数学与计算机科学学院726数学分析考研导师圈点必考题汇编
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一、证明题
1． 证明：若级数
收敛
，又因为
即
绝对收敛，则级数
收敛，则其部分和数
列
收敛，从而
绝对收敛，由阿贝尔变换知
又由即
所以即
2． 证明：若
【答案】已知
T 上增加两个分点
收敛.
在
在
上可积，
上可积，故任给
则存在对
在
上也可积。 的某分割T , 使得
在
收敛可知
收敛. 设
则
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
得到一个新的分割则由上题结论知
分割
在上的部分，构成的一个分割，记为则有
故由可积准则知，
3． 试证明
【答案】数集
因为对于任意一个正数M ,
令
4． 证明:黎曼函数
在上可积。 有上界而无下界. 对任意的
而
故3是数集S 的一个上界.S 无下界，
在k 个，记为
上可积。
在
上使得
的点至多有有限个，不妨设是
【答案】由黎曼函数的性质，
作
的分割
使其满足
由于
而在上式右边第一个和式中，
有
所以
有
由第二充要条件，黎曼函数在
5． 证明：闭区间
设
不妨设
上可积.
本身。
中有无穷多个实数，故a 是
则
故x 0的任意邻域内都含有设
故综上所述，
6． 证明：函数项级数
【答案】由于对任意
的
，
有
在
上不一致收敛，但和函数在所以存
在
〈一致收敛于0, 从而使
得
且由根式判别法易知
且在第二个和式中，
有
且
的全体聚点的集合是
则
【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。
由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。
设
不妨设
b 也是的一个聚点. 同理，
中的无穷多个点，故x 0为
则
的一个聚点. 总之
即本身。
上无穷次可微. 在不
是
的聚点，
即
令
即闭区间
的全体聚点的集合是
上不一致收敛. 由于对任意
的
收敛，所以
在
的任意性可知和函数在
|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在1上无穷次可微.
上无穷次可微. 由
二、解答题
7． 试问集合
与集合
是否相同？
【答案】给出的两个集合是不相同的，第一个集合挖去了两条线
段
第二个集合挖去了一个点(a , b) .
8． 设
记
其中
是关于x 的多项式，
求
和
【答案】由莱布尼茨公式，有
由此可知，
和
所以