2017年华北电力大学(保定)数理系617数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下面的方程在点(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y )
，将f (x , y ) 在点(0, 0) 展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.
【答案】令
则F (x , y , z ) 在点(0，0，0) 的邻域内连续，
在点(0, 0, 0) 的邻域内连续，且由隐函数求导法则易知
所以
于是
2． 设f (x , y ) 可微
【答案】由已知
是
上的一组线性无关向量，试证明：
若
则
于是由隐函数存在定理，方程F (x ，y , z ) =0在点
(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) , 满足f (0, 0) =0.
并
的方向余弦
为的方向余弦，又因为
于是由①、②可得
故
线性无关，所以
二、解答题
3． 设
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明
只有有限个点
使
在D 上的二重积分存在而两个累次
因而存在一个分割T , 使
得
积分不存在.
【答案】因为对任何正
数当y 取无理数时，
然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数
在任何区间上的振幅总大亍
同理可证先y 后x 的累次积分不存在.
4． 用抛物线法近似计算
【答案】当
时，
当
时，
当
时，
5． 试将
【答案】设又
按
的幂展开成幂级数. 则
故
所以
以二重积分存在且等于零.
在X 为有理数划因此
即函数上关于X 的积分不存在. 显
然就不存在先x 后y 的累次积分.
（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）.
由即
可得所以
6． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值：
【答案】(1) 由于D 的面积为(2) 由D 的体积为
令
所以平均值
7． 设
【答案】方法一 因方法二 因所以
同样因
求它在(1，0) 点的偏导数. 所以
同样因，
所以
得
所以
所以的平均值
可见求具体点的偏导数值时，第一种方法较好.
8． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下，用示为
的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表
在球面坐标系下，用
的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为