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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

2． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

3． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ）

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【答案】（C ） 【解析】设

使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

为空间的两组基，且

【解析】令将①代入④得

由②有

即

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3，3，0；而

二、分析计算题

6． 设T 是数域K 上线性空间矿的一个可逆线性变换. 证明：

①T 的特征值都不等于零； ②若是T 的特征值，则

是

的特征值.

是T 的属于0的特征向量，则

与矛盾. 且由上可得

即

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【答案】①反证法设若T 有特征值0, 而又因为T 可逆，故

因为T 可逆，由①知亦即

为

②设为T 的属于特征值的特征向量，即

的一个特征值.

7． 设2n 阶方阵

其中E 是n 阶单位矩阵. （1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式； （3）求A 的若当标准形. 【答案】⑴

（2）由（1）知A 的最小多项式至少是2次多项式，又因为项式

（3）由于又

所以

从而A 的若当标准形为：

存在n 阶子式1，所以有其n 阶行列式因子

从而有

所以，A 的最小多

8． 如果排列

【答案】

9． 设

证明：【答案】记由

的逆序数为k , 排列

的逆序数是多少？

是II 维线性空间V 的一组基，A 是一个

的维数等于A 的秩.

由式（6—21）知

在基

矩阵，且

_的坐标，

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