2017年淮北师范大学数学科学学院821高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可由线性表出.
2． 齐次线性方程组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
使AB=0, 则（ ）
.
当C. 3． 若
时，由AB=0，左乘可得矛盾，从而否定A ，故选
都是4维列向量，且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
的一组基, 则由
基
到
基
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5．
设
秩
未知量个数，
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设是数域K 上线性空间V 到的一个同构映射.
证明：V 的子空间在之下的像是由于
任取
的子空间，的子空间在之下的逆像是V 的子空间.
【答案】 ①设W 是V 的一个子空间，像为
于是
因此，②设由于又任取于是
7． 设
所以
所以
是整系数多项式，若口的子空间. 的一个子空间，
为其逆像.
因此，
为奇数，则
是V 的子空间. 在有理数域上不可约.
【答案】设f （x ）在Q 上可约，则f （x ）可以分解成一次与二次整系数多项式的乘积，
设
其中p ，g
，
由为奇数，
则为奇数.
由
知均为奇数.
为奇数，
8． 在
为偶数，矛盾，故
在Q 上不可约.
中求一单位向量与（1, 1，-1，1），（1，-1，-1，1）, （2，1，1，3）都正交.
，与（1, 1，-1, 1）, （1，-1, -1，1）（2，1，1，3）都正交的充
满足下列线性方程组
【答案】向量分必要条件是
解得单位化后，得所求向量为
9． （1）A 是一个n 级可逆矩阵，求下列二次型的矩阵
.
（2）证明：当A 是正定矩阵时，f 是正定二次型；
（3）当A 是实对称矩阵时，讨论A 的正、负惯性指数与f 的正、负惯性指数之间的关系. 【答案】（1）方法1因为A 可逆，故
存在
.
因为
不一定是对称矩阵，所以f 的矩阵是