2017年淮北师范大学数学科学学院821高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设次型. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法1 用排除法令 则 这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2 所以当方法3 设 时，f 为正定二次型. 对应的矩阵为A ，则 第 2 页，共 37 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则当（ ）时，此时二次型为正定二 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 A 的3个顺序主子式为 所以当方法4令 时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 所以f 为正定的. 3． 设 其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 4． 设A 是矩阵， A. 如果B. 如果秩 则则 =（ ）. 为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 有零解. 则线性方程组（ ）• C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 秩 未知量个数， 5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 第 3 页，共 37 页 【答案】D 【解析】 二、分析计算题 6． 已知 （1）求A 的不变因子，初等因子和最小多项式. （2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）用初等变换将 化为标准形， 于是A 的不变因子是最小多项式为 （2）A 的若当标准形为 7． 设U 是由 生成的 （1）U+W： （2） 的维数与基底. 可得 由于 且（2）令 因为秩 所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成： 第 4 页，共 37 页 初等因子是 生成的 的子空间，求 的子空间，W 是由 【答案】（1）令 所以 为 故 的一个极大线性无关组，因此又可得 为U+W的一组基.