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一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨.

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分别为A ，B 的伴随矩阵，

因此

即

3． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 4． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 秩

未知量个数，

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

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方法4令

所以f 为正定的. 5． 设均为n 维列向量，A 是

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

二、分析计算题

6． 设B 为一

（1）如果（2）如果【答案】（1）它只有零解. 故

（2）由

7． 设向量组意

为零.

【答案】若

全不为零，结论己真. 否则，必有一个数为零，不妨设

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矩阵，C 为一

那么那么

就有即故

的秩为若

矩阵，且秩 证明：

故的每个列向量都是齐次方程组

于是即有

的解.

是

阵，这方程组中有r 个未知数. 又秩

由（1）知

的基础解系的秩为

则该组中任意r 个向量线性无关的充要条件是：对于任

则

或全为零，或全不

个向量