2017年淮北师范大学数学科学学院821高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
都是4维列向量，且4阶行列式
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
因此
是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则A 与B （ ）.
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C
=（ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
【解析】因为
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设 其中 ，求Dn. 【答案】 第 3 页，共 55 页 7． 称以下行列式为循环行列式. 证明： 其中. 【答案】设n 阶范德蒙德 行列式，则易知 为n 次原根且 为n 次单位根. 又设是第二行元素是 的 因为故 试证：AB 也是正定矩阵. 是n 阶实对称阵. 8． 已知A ，B 均为n 阶实对称正定阵，且有 【答案】 可以解:存在同一个实可逆阵，使 事实上，存在正交阵P , 使 其中E , 为k 级单位阵， 互不相同. 由AB=BA, 可得 第 4 页，共 55 页