2017年中国石油大学(北京)线性代数(同等学力加试)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知
是矩阵
的一个特征向量
（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设，
即
于是，得到以
为未知数的线性方程组：
（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：
当
故
是A 的三重特征值. 但
没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A 对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵.
2． 利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）
时. 容易求得矩阵A 的特
征多项式
从而
故齐次方程
没有3个线性无关的特征向量. 由方
（2）
（3）
（4）【答案】⑴
（2）
（3）
（4）
3． 设3阶矩阵A 的特征值为
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有
用初等行变换求得
线性无关，于是若记矩阵
则
于是
4． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
令
证明H 是对称的正交阵.
5． 设
求
【答案】利用矩阵A 的相似对角阵来求（1）求A 的特征值：
所以A 的特征值为（2）对应
解方程
并且它们互不相同，知A 可对角化. 由
得特征向量
对应
解方程
由
得特征向量对应由⑶令
解方程
得特征向量
则P 为可逆阵，且于是求出
得
6． 举反例说明下列命题是错误的：
（1）若
（2）若
则
则有
有
但
，但且
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY, 且【答案】⑴取
⑵取
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