2017年浙江财经大学综合考试(线性代数、数理统计)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． n 阶对称阵的全体V
对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.
【答案】
由变换T 的定义，有
. 因此
，即T 是v 中的变换. 又
维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，
称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变
由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.
2． 设3阶矩阵A 的特征值为
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有
用初等行变换求得
线性无关，于是若记矩阵
则
于是
3． 写出一个以
为通解的齐次线性方程组. 【答案】把原式改写为
由此知所求方程组有2个自由未知数
且对应的方程组为
即
它以原式为通解.
4． 己知两个线性变换
求从
到
的线性变换.
【答案】依次将两个线性变换写成矩阵形式：X=AY，Y=BZ.
其中
分别为对应的系数矩阵；
在这些记号下，从
形式为
这里矩阵
即有
到的线性变换的矩阵
5． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值由对称阵特征向量的性质知，
其系数矩阵
与和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是，是它的一个基础解系，取其为
（2）把向量组用施密特方法正交化，得
（3）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q 按列分块为
则向量是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
6． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵