2017年中央财经大学精算学(保险学院)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
2． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
令
证明H 是对称的正交阵.
【答案】
所以A 的特征值为
（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2）
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
得对应的特征向量当
时，解方程Ax=0, 由
得对应的特征向量当
时，解方程（A —9E ）x=0, 由
得对应的特征向量（3）特征多项式为
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0,
得对应的线性无关特征向量为
当时，解方程（A-E ）x=0，
得对应的线性无关特征向量为
3． 试证；由
【答案】所生成的向量空间记作L ，显然故
线性无关. 但向量组综上知
4． 在R 中取两个基
所生成的向量空间就是另一方面
，则因
&线性相关，于是B 可由
.
，
线性表示，也即B ∈L.
所以
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常
数.
5． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1；
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