2017年中国石油大学(北京)线性代数(同等学力加试)之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 写出一个以
为通解的齐次线性方程组. 【答案】把原式改写为
由此知所求方程组有2个自由未知数
且对应的方程组为
即
它以原式为通解. 2． 设
问k 为何值，可使（1）R （A ）=1; （2）R （A ）=2; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时，当k=l时，
知R （A ）=1.
方法二：对A 作初等行变换.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
于是，（1）当k=l时，R （A ）=1; （2）当k=-2时，R （A ）=2; （3）当（A ）=3.
3． 设线性无关，
【答案】方法一、因
且
时，R
线性相关, 求向量B 用线性表示的表示式.
使
因线性无关，故
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、因关. 又因
线性无关，故
线性相关，故
，于是存在使
线性相关，即
线性相
4． 设A 为
矩阵，
证明方程
有解
而
有解的充分必要条件是R （A ）=m.
含m 行，有
又
【答案】方程因此有解
5． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
所以方程
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
均是中与向量不平行的向量，但它们的和平
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
6． 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （4）2 4 1 3；
（5）1 3... （2n-1） 2 4 ... （2n ）； （6）1 3... （2n-1） （2n ） （2n-2）... 2. 【答案】（1）此排列为自然排列，其逆序数为0;
（2）此排列的首位元素的逆序数为0; 第2位元素1的逆序数为1; 第3位元素3的逆序数为1; 末位元素2的逆序数为2, 故它的逆序数为0+1+1+2=4;
（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0; 第3位元素2的逆序数为2; 末位元素1的逆序数为3, 故它的逆序数为0+0+2+3=5;
（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0, 0, 2, 1，故它的逆序数为0+0+2+1=3;
（5）注意到这2n 个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对. 第n+l位元素2与它前面的n-l 个数构成逆序对，故它的逆序数为n-l :同理，第n+2倍元素4的逆序数为n-2;; 末位元素2n 的逆序数为0. 故此排列的逆序数为
（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n-2）的逆序数为2; 第n+3位元素2n-4与它前面的2n-3，2n-l , 2n ，2n-2构成逆序对，故它的逆序为4; …；末位元素2的逆序数为2（n-l ）, 故此排列的逆序数为2+4+…+2（n-1）=n（n-l ）.
7． 已知3阶矩阵A 与3维列向量X 满足且向量组
（1）记y=Ax，z=Ay，P=（x ，y ，z ），求三阶矩阵B ，使AP=PB; （2）求
，本题的困难在于
【答案】（1）因矩阵P 的列向量组线性无关，故P 可逆，从而
线性无关.
没有具体给出A 和P 的元素，而是它们之间的一些关系式. 下面就利用这些关系式来计算
B.
，故
因
于是
（其实，矩阵B 就是向量组Ax ，Ay ，Az 由向量组x , y , z 线性表示的系数矩阵）。 （2）由
，两边取行列式，便有