2017年重庆师范大学数学科学学院代数基础复试之线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
，
，c 与a 正交，且
求
因
正交，有
有
故
【答案】以左乘题设关系式，得
得
而
2． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
（1）
（2）
【答案】记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为A. （1）
（2）
3． 设
是m 阶矩阵
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明.
式得
因此
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事实上，由
4． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0, 1, 0, 0），（1, -1, 0, 0, 0）.
【答案】因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是
5． 设向量组B
:
线性表示为
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
6． 求下列矩阵的逆阵：
（1）（2）（3）
（4）
【答案】（1）由二阶方阵的求逆公式得
（2）
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（3）因故A 可逆，并且
于是
（4）因
因
故i=1，2, …, n. 于是矩阵是有意义的，并且
由推论，知A 可逆，且
7． 已知
的两个基为到基
的过渡矩阵P.
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
. 求由基
【答案】记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义，
可求得P 如下：
从而
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