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一、计算题

1． 求函数

【答案】

在点

处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。

由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为

沿

方向减少最快，其方向导数为

2． 试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解:

【答案】（1）因

故设方程的特解为

，则

代入方程，有

在

处沿

的方向增加

即

比较系数，得

依次解得

故（2）因

故设

是方程的特解，则

即或写成

比较系数，得

或写成

故

3． 求位于曲线

由于该切线过原点，因此有如图所示所求面积为

，解得x 0=1，y 0=e, 即切线方程为

下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形面积。

代入方程，有

x0x0

【答案】先求曲线过原点的切线方程，设切点为（，y 0）, 其中y 0=e，

则切线方程为

图

4． 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。

【答案】由表中第3列，猜想1986年后任一年的世界人口是前一年人口的1 .018倍. 于是，在1986年后的第t 年，世界人口将是

20 10年对应f=24，于是

即推测2010年的世界人口约为76亿。

5． 求下列数项级数的和:

【答案】（1）利用又其中故（2）因

故取x=1，有

于是

（百万）。

，

取x=1, 有