2017年河北省培养单位遗传与发育生物学研究所农业资源研究中心603高等数学(丙)之高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为
因此
，其中
，把该力分解，得到x 轴、y
图
2． 问函数
【答案】函数在令由最大值点, 即
, 得驻点
在何处取得最大值? 上可导, 且（舍去）, 知
上的驻点惟一, 故极大值点就是
为极大值点, 又函数在
为最大值点, 且最大值为
3． 某吊车的车身高为l.5m , 吊臂长15m 。现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去（如图所示）, 问能否吊得上去?
【答案】如图, 设吊臂对地面的倾角为
知
令又
, 得, 故
, 即惟一驻点
为极大值也是最大值, 即当
时, h 达到最大值。
, 屋架能够吊到最大高度为h , 由
, 而柱子的高只有6m , 所以能吊得上去。
图
4． 判定函数
【答案】
且
的单调性 仅在
时成立, 因此函数
在[0, 2π]
上单调增加。
5． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由直于xOy 面.
6． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
，知α=
；（2）；（3），问这些向量
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
7． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
（4）
（5）先在等式两端分别取对数，得
，于是
8． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
2
，再在所得等式两端分别对x 求导，得
。
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得
即得，
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