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一、计算题

1． 求下列欧拉方程的通解：

【答案】（1）令

2

（D +2D+1）y=0

即并记则原方程可化为

于是该方程的通解

即

该方程的特征方程为

故原方程的通解为

（2）

令

即

并

记

有根

则原方程可化

为

有根

即

故齐次

该方程对应齐次方程的特征方程为

方程的通解为

因

不是特征方程的根，故可

令

中并消去

于是得

即原方程的通解为

2． 化二重积分

得

即

是非齐次方程的特解。代

入

，其中积分区域D 是: 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）（l ）由直线y=x及抛物线（2）由x 轴及半圆周（3）由直线（4）环形闭区域

【答案】（1）直线y=x及抛物线

及双曲线

。

的交点为（0，0）和（4，4）（图1）. 于是

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所围成的闭区域;

所围成的闭区域;

所围成的闭区域;

或

图1

（2）将D 用不等式表示为后对x 的二次积分

如将D 用不等式表示为后对y 的二次积分

（3）如图2所示. 三条边界曲线两两相交，先求得3个交点为是

或

和

。于

，则可将，化为如下的先对x 、，于是可将I 化为如下的先对y 、

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图2

（4）将D 按图3（a ）和图3（b ）的两种不同方式划分为4块，分别得

和

图3

3． 求曲线y=tanx

在点

【答案】

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处的曲率圆方程。