2017年河北省培养单位遗传与发育生物学研究所农业资源研究中心603高等数学(丙)之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求函数数。
【答案】按题意，方向又
在点
处沿从点
到点
的方向的方向函
故
2． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
，取
（不妨设ε<1）
取N=1，则当n>N时，就有
则当n>N时，
（3）该级数的各项
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
上一致收敛。
3． 计算斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
（1）
，其中为圆周
，若从x 轴的正有
向看去，这圆周取逆时针方向；
（2）
，其中为椭圆
，若从x 轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向；
（3）
圆周是取逆时针风向；
（4）
圆周是取逆时针方向。
【答案】（1）取为平面法向量为
的上侧被所围成的部分，则的面积为πa ，的单位
2
，
，其中是圆周，若从z 轴正向看去，这
，其中是圆周，若从x 轴正向看去，这
（图1）
由斯托克斯公式
图1 图2
（2）如图所示，
取
为平面
的上侧被
所围成的部分
，
的单位法向量
。由斯托克斯公式
现用两种方法来求解法一：由于域的面积=πa ，故
2
的面积A ，而
在xOy 面上的投影区
解法二：用曲面积分计算法。 由于在上，
，则