2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题
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2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题（一） ... 2 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题（二） . 10 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题（三） . 19 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题（四） . 29 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题（五） . 37
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一、证明题
1． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
若
其中
则
而
正是泊松分布的特征函数，故得证.
和
分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差
其中
与
分别为总体的分布函数与密度函数.
时，样本极差
的分布函数.
做变换于是
与
其逆变换为
的联合密度为
由此可以算得
的边际密度为
的分布函数为
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的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
3． （1）设分布函数
的
（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）
与
的联合密度函数为
雅可比行列式绝对值为
（2）对于指数分布
由（1）中结果，有
4． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
5．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
. 所以，所以，所以
，由，由
，由（3）（有限交）得，
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【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
.
6． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令
即可实现（这里默认
），因此，
是充分统计量.
存在，证明:对任意的
，
7． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
与
是一一对应的，因为给出
也可构造出
，
是充分统计量.
就可算得
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
8． 证明:若明:
与是未知参数的两个UMVUE , 则依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出
是0的无偏估计，则已知
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