2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
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2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题（一） ... 2 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题（二） . 10 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题（三） . 20 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题（四） . 32 2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题（五） . 41
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一、证明题
1． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
即成功概率p 的后验分布为塔分布族. 2．
设计.
【答案】由于
这就证明了
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，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
独立同分布
, 证明
:
是的相合估
是的相合估计.
3．
设总体
【答案】令
，则
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
:
.
4． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
5． 设总体X 的均值为方差为是来自该总体的一个样本，凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
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为的任一
与的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
6． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
7． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
且
（3）右连续性.
8． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
9． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
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