2018年桂林理工大学理学院874概率统计之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
2． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
9
从而，
为
的UMVUE.
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【答案】因
服从大数定律. ，求
的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
.
进一步，
3．
设总体
【答案】令
，则
，C-R 下界为.
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知，当
时上式达到最小，最小值为
，它小于的均方误差
.
4． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
5． 证明:容量为2的样本
【答案】
6． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
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的方差为
，证明:
；
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
7． 设随机变量
【答案】
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，试证明:
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