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一、计算题

1． 应用积分号下的积分法, 求下列积分:

（1）（2）

【答案】（1

）记连续, 于是有

记

则f （x , y ）在[0, 1] × [|a, b]上连续, 所以

作代换

后得到

因此

（2）

2． 计算积分

因为

故令

, 则g （x ）在[0, 1]上

【答案】令则

3． 试将下列积分用欧拉积分表示, 并指出参量的取值范围:

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【答案】（1）（2）

4． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，

（

1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组由于在边界﹣2）上，值﹣4.

（2）解方程组数的稳定点及其函数值有:

上，

由

由

由p+l>0得p>﹣1.

和得和.

得稳定点（0, 0）.

所以（0, 0）不是极值点. 得稳定点x=0, 这时，

在点（0, 2）和（0，

比较

同理，在边界点（2, 0）和（﹣2, 0）上，

各点的函数值知，在点（2, 0）, （ ﹣2, 0）函数取最大值

4,

在点（0

, 2

）,

（0

,

﹣2

）函数取最小

得稳定点（0, 0）, 函数值z （0, 0）=0.考察边界上相应一元函

而边界点（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0, ﹣1）的函数值都等于1，所以函数的最大值点为（1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，﹣1），最大值为1, 函数的最小值点为（0，0），最小值为0.

（3）解方程组在区域内部仅而在边界所以函数在点

取得最大值为稳定点

得cosx=cosy因此稳定点在x=y或

，

上函数值均为零，

，在边界上取得最小值为0.

上，

二、证明题

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5． 设f （x

）在内可微, 且满足不等式

证明:存在一点, 使得

【答案】由已知的不等式, . 令

则

由推广的罗尔定理

, 使得

即

6． 证明

【答案】对任意的数

在

由不等式则当

7． 设f （x ）在[a, b]上三阶可导, 证明存在

得时, 有

, 使得

【答案】令则有使得

即

8． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

限制时

, , 即

. 当故

时, 函

其

中取

上是严格减函数.

于是当

,

连续使用柯西中值定理,

,